Автор: В статье объясняется, что такое трансцендентность в математике и как она связана с алгебраической иррациональностью. Рассматриваются примеры трансцендентных чисел и приводятся основные свойства этих чисел.
Статья:
Трансцендентные числа — это числа, которые не являются корнями никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Проще говоря, это числа, которые невозможно представить в виде конечной комбинации целых чисел, скобок и арифметических действий. Такие числа играют важную роль в математике, их свойства часто используются в различных областях науки и техники.
Примером трансцендентного числа является число Пи (π). Это число равно отношению длины окружности к ее диаметру и примерно равно 3,14159. Доказательство того, что число Пи является трансцендентным, было представлено в 1882 году математиком Линдеманом. Он показал, что если бы число Пи было алгебраическим, то существовало бы алгебраическое уравнение меньшей степени, корнем которого было бы число Пи. Однако такого уравнения не существует.
Еще одним примером трансцендентного числа является число e. Оно равно пределу (1 + 1/n)n при n, стремящемся к бесконечности, и примерно равно 2,71828. Доказательство трансцендентности числа e было представлено в 1873 году Шарлем Эрмитом. Он показал, что число e является корнем бесконечного ряда, коэффициенты которого задаются формулой n! (факториал числа n). Этот ряд называется рядом Тейлора для функции ex и имеет бесконечный радиус сходимости.
Трансцендентные числа обладают рядом интересных свойств. Например, они не могут быть точно вычислены в конечном количестве операций, а их десятичное разложение не обладает периодичностью. Также они образуют множество меры нуль на прямой и не могут быть выражены рациональной функцией.
В заключение можно сказать, что трансцендентность — это одно из основных понятий математической анализа и алгебры. Изучение трансцендентных чисел имеет большое значение для развития математики и ее приложений в различных областях науки и техники.
